حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

خطوة 1.1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ في صورة ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 1.1.9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

خطوة 1.1.12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

خطوة 1.1.12.2

اجمع $x$ و $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.12.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.12.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.12.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.12.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.12.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.13.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.13.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.3.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.1.13.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.1.13.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

خطوة 1.1.13.3.2

بسّط.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

خطوة 1.1.13.3.3

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

خطوة 1.1.13.3.4

انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.13.3.5

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.3.5.1

انقُل $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

خطوة 1.1.13.3.5.2

اضرب $2^{- \frac{1}{2}}$ في $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.3.5.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

خطوة 1.1.13.3.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

خطوة 1.1.13.3.5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

خطوة 1.1.13.3.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

خطوة 1.1.13.3.5.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

خطوة 1.1.13.3.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

خطوة 1.1.13.3.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اضرب $2^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $2^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ خارج التكامل.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $2^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.2

انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.3

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5.2.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

خطوة 7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$