حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{{(x^{3} + 4)}^{5}}{3 x^{4} - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(x^{3} + 4)}^{5}$ و $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{5}] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x^{3} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $5$ إلى يسار $3 x^{4} - 2$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + 0) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2}) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.9

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $12 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3})}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.11.2

اضرب $12$ في $- 1$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(15 (3 x^{4}) + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ من $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ من $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

أخرِج العامل ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ من $- 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

أخرِج العامل ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ من ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $15$ في $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $15$ في $- 2$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 12 \cdot 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $- 12$ في $4$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 48) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{3} x - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3.4

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x \cdot x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3.4.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{1} x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{1 + 3} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.3.4.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{4} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

اطرح $12 x^{4}$ من $45 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (33 x^{4} - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.5

أخرِج العامل $3$ من $33 x^{4} - 30 - 48 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $33 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.5.2

أخرِج العامل $3$ من $- 30$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.5.3

أخرِج العامل $3$ من $- 48 x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.5.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (11 x^{4}) + 3 (- 10)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.5.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10 - 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} \cdot 3 (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{4} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$