حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$D_{x} (\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $D_{x}$ و $\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}]$

خطوة 1.2

بما أن $D_{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$ .

$D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x + 5$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 1$ .

$D_{x} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.10.3

اجمع $D_{x}$ و $\frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{D_{x} (2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{D_{x} (2 x^{2}) + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} \cdot - 2 + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $D_{x}$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 \cdot D_{x} + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x \cdot x + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} (x \cdot x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.6

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 2 \cdot 5 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.8

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2

اطرح $4 D_{x} x^{2}$ من $2 D_{x} x^{2}$ .

$\frac{- 2 D_{x} - 2 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $2 D_{x}$ من $- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

أخرِج العامل $2 D_{x}$ من $- 2 D_{x}$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1) - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.1.2

أخرِج العامل $2 D_{x}$ من $- 2 x^{2} D_{x}$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.1.3

أخرِج العامل $2 D_{x}$ من $- 10 D_{x} x$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.1.4

أخرِج العامل $2 D_{x}$ من $2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2})$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.1.5

أخرِج العامل $2 D_{x}$ من $2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2} - 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

خطوة 4.8.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

خطوة 4.8.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - (5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (5 x)$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.12

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + 5 x) - 1 (1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.14

أعِد كتابة $- (x^{2} + 5 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 5 x + 1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1 (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.16

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 D_{x} (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$