حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x^{3} - 4)}^{4} \sin (3 x^{3})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} - 4)}^{4} \sin (3 x^{3}))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(x^{3} - 4)}^{4}$ و $g (x) = \sin (3 x^{3})$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{3})] + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x^{3}$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x^{3}$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} (\cos (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (3 (3 x^{2})) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{3} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3} - 4$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3} - 4$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]))$

خطوة 3.5.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + 0))$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $3$ في $4$ .

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2})$

خطوة 3.5.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$