حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 6

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 7

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 9

بسّط.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 10

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 10.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$- u + C + \int u^{2} d u$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 14

بسّط.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$