حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y'' - y = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

خطوة 2

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 3

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 3.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

خطوة 3.4

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ .

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

خطوة 3.5

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} - 1 = 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$r^{2} = 1$

خطوة 4.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{1}$

خطوة 4.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$r = \pm 1$

خطوة 4.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = 1$

خطوة 4.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - 1$

خطوة 4.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = 1, - 1$

خطوة 5

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

خطوة 6

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

خطوة 7

اضرب $x$ في $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$