حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{e^{49}}^{e^{64}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e^{49})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $49$ خارج الأُس.

$u_{lower} = 49 \ln (e)$

خطوة 1.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{lower} = 49 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $49$ في $1$ .

$u_{lower} = 49$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{64})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $64$ خارج الأُس.

$u_{upper} = 64 \ln (e)$

خطوة 1.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 64 \cdot 1$

خطوة 1.5.3

اضرب $64$ في $1$ .

$u_{upper} = 64$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{49}^{64} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{49}^{64} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{49}^{64} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{49}^{64} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{49}^{64} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{49}^{64}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $64$ وفي $49$ .

$(2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 8 - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.5

اضرب $2$ في $8$ .

$16 - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.6

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$16 - 2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - 2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 4.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$16 - 2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 4.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$16 - 2 \cdot 7^{1}$

خطوة 4.2.9

احسِب قيمة الأُس.

$16 - 2 \cdot 7$

خطوة 4.2.10

اضرب $- 2$ في $7$ .

$16 - 14$

خطوة 4.2.11

اطرح $14$ من $16$ .

$2$