حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $3 (t)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $S (t)$ .

$3 (t) = \int S (t) d t$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$3 (t) = \int t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t} d t$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int t^{2} d t + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \int \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - (\frac{1}{2} \int t d t) + \int \sqrt{t} d t$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int \sqrt{t} d t$

خطوة 8

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{4} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$ .

$3 (t) =$ $\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$