حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = \sin (x)$ . إذن $d u_{1} = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.4

اجمع $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.5

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{2} \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.8.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.1.9.2

اقسِم $\sec^{2} (t)$ على $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اجمع $\frac{1}{\sqrt{2}}$ و $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.2.1.2

اجمع $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

خطوة 3.2.1.3

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

خطوة 3.2.1.4

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

خطوة 3.2.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

خطوة 3.2.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 3.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 3.2.3.3

اضرب $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ في $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

خطوة 3.2.3.4

اضرب $\sec^{3} (t)$ في $\sec (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.4.1

انقُل $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

خطوة 3.2.3.4.2

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{3} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.4.2.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

خطوة 3.2.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

خطوة 3.2.3.4.3

أضف $1$ و $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

خطوة 3.2.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{8}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ خارج التكامل.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\sec (t)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = \tan (t)$ . إذن $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = \tan (t)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 7.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 7.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8

اضرب $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 9.2

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في ${u_{2}}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

خطوة 9.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{4}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ و $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ في $1$ وفي $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.4

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.5

لكتابة $\frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.6

لكتابة $\frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.7.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.7.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.7.3

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.7.4

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.9

أضف $5$ و $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.11

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

خطوة 14.2.12

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

خطوة 14.2.13

اضرب $\frac{1}{5}$ في $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

خطوة 14.2.14

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

خطوة 14.2.15

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

خطوة 14.2.16

أضف $\frac{8}{15}$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

خطوة 14.2.17

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ في $\frac{8}{15}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

خطوة 14.2.18

اضرب $15$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

خطوة 14.2.19

انقُل $8$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

خطوة 14.2.20

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.20.1

أخرِج العامل $2$ من $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

خطوة 14.2.20.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.20.2.1

أخرِج العامل $2$ من $30 \sqrt{8}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

خطوة 14.2.20.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

خطوة 14.2.20.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

خطوة 15.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

خطوة 15.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

خطوة 15.3

اضرب $2$ في $15$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

خطوة 15.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

خطوة 15.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $30 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

خطوة 15.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

خطوة 15.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

خطوة 15.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

خطوة 15.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{15}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{15}$

الصيغة العشرية:

$0.1\overline{3}$