حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \ln (5 x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $\frac{1}{5 x^{2}}$ و $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.6.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.6.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

خطوة 1.4.8

اضرب $\ln (5 x^{2})$ في $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \ln (5 x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.6

اجمع $10$ و $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.7

اجمع $\frac{10}{5 x^{2}}$ و $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

أخرِج العامل $5$ من $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.10

اجمع $2$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.11

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{4}{x}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

خطوة 3.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$