حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

خطوة 1

اكتب $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{3}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{10} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5

اجمع $\frac{15}{10}$ و $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5

اجمع $\frac{12}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.6.2.4

اقسِم $6 x^{3}$ على $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $6 x$ من $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة ${(x + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة ${(x + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $\frac{3}{10}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.2.1

اجمع $\frac{3}{10}$ و $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

خطوة 4.3.2.2.4

اكتب $- 1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

خطوة 4.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

خطوة 4.3.2.2.6

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

خطوة 4.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

خطوة 4.3.2.4.2

أضف $- 3$ و $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

خطوة 4.3.2.4.3

اطرح $10$ من $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

خطوة 4.3.2.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

خطوة 4.3.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ هي $(- 1, - \frac{3}{10})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $6$ في $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $12$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $6$ في $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 7.986$ و $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $6.6$ من $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.066$ .

$- 0.066$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 0.066$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.5.3

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.6

اجمع $3$ و $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.9

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.11

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.12

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.13

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.14

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.14.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.1.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.15.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 7.2.1.15.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

خطوة 7.2.1.15.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

خطوة 7.2.1.15.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

خطوة 7.2.1.16

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

خطوة 7.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اكتب $3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{3}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

خطوة 7.2.2.3

اضرب $\frac{3}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

خطوة 7.2.2.4

اكتب $- 3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.2.6

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أضف $- 3$ و $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $12$ من $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

خطوة 7.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $- \frac{1}{2}$ يساوي $- 0.75$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1, 0)$

تناقص خلال $(- 1, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $6$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $12$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $6$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

خطوة 8.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $0.006$ و $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

خطوة 8.2.2.2

أضف $0.126$ و $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.726$ .

$0.726$

خطوة 8.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.726$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

خطوة 10