حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

اقسِم $2 x^{2} + 5$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

خطوة 3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

خطوة 3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

خطوة 3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{2} + 0 + 2$

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

خطوة 3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

خطوة 3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$