حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 5 x$ . إذن $d u_{1} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\tan^{4} (u_{1})$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ .

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

خطوة 8.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$