حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 8

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

خطوة 10

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

خطوة 11.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$