حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{a} 6 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = a^{2} - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = a^{2} - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 2.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $a^{2}$ و $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

خطوة 2.5

اطرح $a^{2}$ من $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 6 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

خطوة 9

اجمع $\frac{2}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $0$ وفي $a^{2}$ .

$- 3 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- 3 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 3 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.5

اضرب $2$ في $0$ .

$- 3 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- 3 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 3 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 3 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 10.2.7

اضرب الأُسس في ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

خطوة 10.2.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

خطوة 10.2.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

خطوة 10.2.8

اطرح $\frac{2 a^{3}}{3}$ من $0$ .

$- 3 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

خطوة 10.2.9

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$3 \frac{2 a^{3}}{3}$

خطوة 10.2.10

اجمع $3$ و $\frac{2 a^{3}}{3}$ .

$\frac{3 (2 a^{3})}{3}$

خطوة 10.2.11

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6 a^{3}}{3}$

خطوة 10.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.12.1

أخرِج العامل $3$ من $6 a^{3}$ .

$\frac{3 (2 a^{3})}{3}$

خطوة 10.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 a^{3})}{3 (1)}$

خطوة 10.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 a^{3})}{3 \cdot 1}$

خطوة 10.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 a^{3}}{1}$

خطوة 10.2.12.2.4

اقسِم $2 a^{3}$ على $1$ .

$2 a^{3}$