حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x \sqrt{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.3

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12.2

اضرب $\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

خطوة 14

اضرب ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 15

لكتابة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 16

اجمع ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

اضرب ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

انقُل ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$2 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.2

انقُل $2$ إلى يسار $x + 1$ .

$2 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اجمع $2$ و $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$