حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

أخرِج عامل $\sin^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 5

لنفترض أن $u = \cos (t)$ . إذن $d u = - \sin (t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 5.1.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 5.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 5.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 6

اضرب $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 7.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $0$ وفي $1$ .

$2 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\frac{u^{5}}{5}$ في $0$ وفي $1$ .

$2 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$2 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.4

اطرح $\frac{1}{3}$ من $0$ .

$2 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.8.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.8.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.8.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

خطوة 14.3.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

خطوة 14.3.10

اطرح $\frac{1}{5}$ من $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

خطوة 14.3.11

لكتابة $\frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

خطوة 14.3.12

لكتابة $- \frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 14.3.13

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.13.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 14.3.13.2

اضرب $3$ في $5$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 14.3.13.3

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

خطوة 14.3.13.4

اضرب $5$ في $3$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

خطوة 14.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{5 - 3}{15}$

خطوة 14.3.15

اطرح $3$ من $5$ .

$2 (\frac{2}{15})$

خطوة 14.3.16

اجمع $2$ و $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{15}$

خطوة 14.3.17

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{15}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{4}{15}$

الصيغة العشرية:

$0.2\overline{6}$

خطوة 16