حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

خطوة 1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

خطوة 2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

خطوة 3.3

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

خطوة 3.5

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 3.5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 3.5.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

خطوة 3.5.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

خطوة 3.5.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

خطوة 3.7.2

اضرب $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ في $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

خطوة 3.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

خطوة 3.9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- t$ وفي $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

خطوة 3.9.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

خطوة 3.9.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

خطوة 3.9.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 3.10

بما أن الأُس $- t$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t}$ تقترب من $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 3.11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.11.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

اطرح $1 \cdot 1$ من $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.11.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.2.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.11.2.2.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.11.2.2.3

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.2.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

خطوة 3.11.2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$