حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام التكامل بالتجزئة. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u - 2) u^{4} d u$

خطوة 3

اضرب $(u - 2) u^{4}$ .

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

خطوة 4

اضرب $u$ في $u^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $u$ في $u^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

خطوة 4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

خطوة 4.2

أضف $1$ و $4$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$