حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{π}{4}$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

خطوة 1.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

خطوة 1.3.3

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

خطوة 1.3.5

اضرب $\frac{π}{4}$ في $1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

خطوة 1.3.6

بما أن $- \frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

خطوة 1.3.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

خطوة 1.3.7.2

اجمع $\frac{π}{4}$ و $- 8$ .

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 1.3.7.3

اجمع $\frac{π \cdot - 8}{4}$ و $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

خطوة 1.3.7.4

انقُل $- 8$ إلى يسار $π$ .

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

خطوة 1.3.7.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

خطوة 1.3.7.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

خطوة 1.3.7.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.3.7.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

خطوة 1.3.7.5.2.4

اقسِم $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ على $1$ .

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.4

اضرب $\frac{π}{4}$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.5

بما أن $- \frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

خطوة 2.3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $\frac{π}{4}$ و $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.6.3

اجمع $\frac{π \cdot - 2}{4}$ و $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{- 2 π^{2}}{4}$ و $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

خطوة 2.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

خطوة 2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

خطوة 2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ على $- 2 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ على $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ على $1$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

خطوة 4.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

خطوة 4.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

خطوة 4.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $0$ على $- π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

خطوة 7

أضف $\frac{π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

خطوة 8

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{π} π$

خطوة 9.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{π} π$

خطوة 9.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2$

خطوة 10

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اطرح $0$ من $π$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

خطوة 11.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $\frac{π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

خطوة 11.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 11.2.3

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

خطوة 11.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 11.4.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 11.4.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 \cdot 3$

خطوة 11.4.2.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$x = 6$

خطوة 12

حل المعادلة $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ .

$x = 2, 6$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أخرِج العامل $2$ من $π (2)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 14.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 14.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 14.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 14.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

خطوة 14.2.2

اطرح $π$ من $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

خطوة 14.2.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

خطوة 14.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

خطوة 14.3

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$- \frac{π^{2}}{2}$

خطوة 15

$x = 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

خطوة 16.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

خطوة 16.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 16.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

خطوة 16.2.3

اطرح $π$ من $π$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

خطوة 16.2.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (2) = 8 \cos (0)$

خطوة 16.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (2) = 8 \cdot 1$

خطوة 16.2.6

اضرب $8$ في $1$ .

$f (2) = 8$

خطوة 16.2.7

الإجابة النهائية هي $8$ .

$y = 8$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 6$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

أخرِج العامل $2$ من $π (6)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 18.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 18.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 18.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 18.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

خطوة 18.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

خطوة 18.2.3

اطرح $π$ من $3 π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

خطوة 18.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

خطوة 18.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

خطوة 18.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

خطوة 18.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

خطوة 18.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

خطوة 18.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $π^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

خطوة 18.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{π^{2}}{2}$

خطوة 18.4

اضرب $- - \frac{π^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{π^{2}}{2}$

خطوة 18.4.2

اضرب $\frac{π^{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

خطوة 19

$x = 6$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 6$ هي حد أدنى محلي

خطوة 20

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2.1.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $3$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 20.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

خطوة 20.2.2.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

خطوة 20.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

خطوة 20.2.2.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (6) = 8 \cos (π)$

خطوة 20.2.3

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

خطوة 20.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 20.2.5

اضرب $8 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (6) = 8 \cdot - 1$

خطوة 20.2.5.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f (6) = - 8$

خطوة 20.2.6

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$y = - 8$

خطوة 21

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ .

$(2, 8)$ هي نقطة قصوى محلية

$(6, - 8)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 22