حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

تحقق من أن الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

خطوة 1.1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $c e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 1.1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

خطوة 1.1.3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

خطوة 1.1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

خطوة 1.2

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

خطوة 1.4

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = c e^{x^{2}}$ تمثل حلاً لـ $y' = 2 x y$

خطوة 2

عوّض بالشرط الابتدائي.

$1 = c e^{0^{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $c e^{0^{2}} = 1$ على $e^{0^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $c e^{0^{2}} = 1$ على $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{0^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $c$ على $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$c = \frac{1}{e^{0}}$

خطوة 3.2.3.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

خطوة 3.2.3.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$c = 1$