حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 45 \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $45$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $45$ خارج التكامل.

$45 \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2

أخرِج عامل $\sin^{2} (x)$ .

$45 \int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (x)$ .

$45 \int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$45 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 5

اضرب $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$45 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$45 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$45 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 6.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$45 \int - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$45 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$45 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$45 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$45 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$45 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$45 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

خطوة 11.2

بسّط.

$45 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$45 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x)) + C$