حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 5

اضرب $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

خطوة 8.3.2

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

خطوة 8.3.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

خطوة 8.4

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

خطوة 8.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

خطوة 8.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

خطوة 8.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

خطوة 8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

خطوة 8.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

خطوة 8.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

خطوة 8.8

أعِد كتابة $- (x \ln (x) - 1)$ بالصيغة $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

خطوة 8.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$