حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 t)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 t)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 1.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \cos (π)$

خطوة 1.5.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{upper} = - \cos (0)$

خطوة 1.5.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 3

اضرب $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $- 1 (\frac{1}{2})$ بالصيغة $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.4

اضرب $u_{2}$ في $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.5

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2} u_{2}$ في $- 1$ وفي $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ في $- 1$ وفي $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3.4

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 9.3.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

خطوة 9.3.8

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

خطوة 9.3.9

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

خطوة 9.3.10

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 9.3.11

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.12

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

خطوة 9.3.13

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

خطوة 9.3.14

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.14.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

خطوة 9.3.14.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 9.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 + 1}{4}$

خطوة 9.3.16

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.75$