حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = - x + 6$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = - x + 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $- x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 1 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x + 6$ .

$u_{lower} = - 0 + 6$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $6$ .

$u_{lower} = 6$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x + 6$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$u_{upper} = - 6 + 6$

خطوة 1.5.2

أضف $- 6$ و $6$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $0$ وفي $6$ .

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

خطوة 5.2.3

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

خطوة 5.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

خطوة 5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

خطوة 5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

خطوة 5.2.4.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $72$ .

$π (- (0 - 72))$

خطوة 5.2.6

اطرح $72$ من $0$ .

$π (- - 72)$

خطوة 5.2.7

اضرب $- 1$ في $- 72$ .

$π \cdot 72$

خطوة 5.2.8

انقُل $72$ إلى يسار $π$ .

$72 π$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$72 π$

الصيغة العشرية:

$226.19467105 \dots$

خطوة 7