حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

خطوة 1

بما أن $44$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $44$ خارج التكامل.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = 4 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $4 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $16$ من $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $16$ من $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $16$ من $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة $16 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $4 \sec (t)$ من ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $4 \sec (t)$ من $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 3.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ و $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

خطوة 3.2.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.3.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{16}$ و $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $44$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ بالصيغة $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 6.2

طبّق متطابقة المقلوب.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 6.3.2

اجمع.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 6.3.3

اضرب $\csc (t)$ في $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 6.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 6.3.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 6.3.5

اجمع $\cot (t)$ و $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 6.3.6

اختزِل العبارة $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.6.1

اضرب في $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 6.3.6.2

أخرِج العامل $\cot (t)$ من ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 6.3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 6.3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

خطوة 6.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

خطوة 7

بما أن مشتق $- \csc (t)$ هو $\csc (t) \cot (t)$ ، إذن تكامل $\csc (t) \cot (t)$ هو $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{11}{4}$ و $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{x}{4})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{x}{4})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{x}{4})$ . إذن، $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ تساوي $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

خطوة 10.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.7

أعِد كتابة $\frac{16 + x^{2}}{16}$ بالصيغة ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.7.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.7.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $4^{2}$ من $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.7.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.9

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

خطوة 10.1.10

اجمع.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

خطوة 10.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

خطوة 10.1.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

خطوة 10.2

اجمع $11$ و $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

خطوة 10.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

خطوة 10.4

اجمع.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

خطوة 10.5

اضرب $11$ في $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

خطوة 10.6

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$