حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{- 5}{2}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.5

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.6

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- \frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{5} x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \cdot 1$

خطوة 1.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- \frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5 x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{5}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $- 4$ في $5$ .

$\frac{- 20}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.6

اجمع $\frac{- 20}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 20$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 10 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.2.7.2.4

اقسِم $- 10 x^{3}$ على $1$ .

$- 10 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.4

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{- 8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.6

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

انقُل $x^{3}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 (x^{3} x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{3 - 8} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.4.6.3

اطرح $8$ من $3$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

خطوة 2.5

بما أن $- \frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + 0$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

خطوة 2.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{- 4}{x^{5}} + 0$

خطوة 2.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}} + 0$

خطوة 2.6.2.3

أضف $- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$ و $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$ .

$- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$