حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 + 5 x^{3}$ و $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

انقُل $5$ إلى يسار $1 + 2 x$ .

$\frac{5 \cdot (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{5 (1 + 2 x) (3 x^{2}) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.12

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.14

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(15 \cdot 1 + 15 (2 x)) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

اضرب $15$ في $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x)) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{2 + 1}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{3}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.3

اضرب $2$ في $15$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.5

اضرب $5$ في $- 2$ .

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 10 x^{3}}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

اطرح $10 x^{3}$ من $30 x^{3}$ .

$\frac{15 x^{2} + 20 x^{3} - 4}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$