حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

خطوة 1.3.2

بما أن $\frac{2 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

خطوة 1.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اجمع $\frac{2 π}{3}$ و $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

خطوة 1.3.3.2

اضرب $- 10$ في $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

خطوة 1.3.3.3

اجمع $\frac{- 20 π}{3}$ و $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

خطوة 1.3.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

خطوة 1.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{1}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

خطوة 1.3.6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

خطوة 1.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

خطوة 1.3.7.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

خطوة 1.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $\frac{2 π}{3}$ و $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

خطوة 1.4.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

خطوة 1.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

خطوة 1.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

خطوة 1.4.2.3

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

خطوة 1.4.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- \frac{20 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ و $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

خطوة 2.3.2

انقُل $20$ إلى يسار $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{2 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 π x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

خطوة 2.3.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أضف $\frac{2 π}{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.3.8.3

اضرب $20$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.8

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ على $20 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ على $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ على $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

أخرِج العامل $20$ من $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

خطوة 5.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $20$ من $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

خطوة 5.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

خطوة 5.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

خطوة 5.1.3.2

اقسِم $0$ على $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

خطوة 5.4

اطرح $\frac{π}{6}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

خطوة 5.5

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

خطوة 5.6

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

خطوة 5.6.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

خطوة 5.6.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.2.1

أخرِج العامل $2 π$ من $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

خطوة 5.6.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

خطوة 5.6.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

بسّط $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

خطوة 5.6.2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

خطوة 5.6.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

خطوة 5.6.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

خطوة 5.6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

خطوة 5.6.2.1.2.2

أخرِج العامل $π$ من $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

خطوة 5.6.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

خطوة 5.6.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.6.2.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.6.2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

خطوة 5.6.2.1.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{4}$

خطوة 5.7

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اطرح $0$ من $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

خطوة 5.8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

اطرح $\frac{π}{6}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.3

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 5.8.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.5.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 5.8.2.5.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1

بسّط $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.2.1

أخرِج العامل $2 π$ من $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.4.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.4.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1

بسّط $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

خطوة 5.8.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

خطوة 5.8.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

خطوة 5.8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

خطوة 5.8.4.2.1.2.2

أخرِج العامل $π$ من $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

خطوة 5.8.4.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

خطوة 5.8.4.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

خطوة 5.8.4.2.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.8.4.2.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

خطوة 5.9

حل المعادلة $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{1}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.1.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{- 2}{4}$ و $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اختزِل العبارة $\frac{- 2 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

خطوة 7.3.3

أضف $- π$ و $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

خطوة 7.3.4

اقسِم $0$ على $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

خطوة 7.3.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

خطوة 7.3.6

اضرب $40$ في $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

خطوة 8

$x = - \frac{1}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{1}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

خطوة 9.2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

خطوة 9.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

خطوة 9.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

خطوة 9.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

خطوة 9.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

خطوة 9.2.4

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

خطوة 9.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

اضرب $π$ في $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

خطوة 9.2.5.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

خطوة 9.2.5.3

اقسِم $0$ على $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

خطوة 9.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

خطوة 9.2.7

اضرب $10$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

خطوة 9.2.8

الإجابة النهائية هي $10$ .

$y = 10$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{5}{4}$ و $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{5 \cdot 2}{4}$ و $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $5$ في $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.2.2

اختزِل العبارة $\frac{10 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.3.1.2

اضرب $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.2.1

اضرب $\frac{5 π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.3.1.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

خطوة 11.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

خطوة 11.3.3

أضف $5 π$ و $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

خطوة 11.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

خطوة 11.3.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

خطوة 11.3.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

خطوة 11.3.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

خطوة 11.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

خطوة 11.3.8

اضرب $- 1$ في $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

خطوة 11.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

خطوة 11.5

اضرب $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

خطوة 11.5.2

اضرب $\frac{40 π^{2}}{9}$ في $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

خطوة 12

$x = \frac{5}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

خطوة 13.2.2

أضف $5$ و $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

خطوة 13.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

خطوة 13.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

خطوة 13.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

خطوة 13.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

خطوة 13.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

خطوة 13.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

خطوة 13.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 13.2.5

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

خطوة 13.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

خطوة 13.2.6.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

خطوة 13.2.7

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

خطوة 13.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.2.9

اضرب $10 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.9.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

خطوة 13.2.9.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

خطوة 13.2.10

الإجابة النهائية هي $- 10$ .

$y = - 10$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{5}{4}, - 10)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 15