حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{4 x} - e^{5 y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{5 y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 5 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

خطوة 3.3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $5$ في $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

خطوة 3.3.6

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

خطوة 3.3.7

اضرب $5$ في $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

خطوة 5.3

اطرح $4 x' e^{4 x}$ من كلا المتعادلين.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

خطوة 5.4

اطرح $x e^{x y}$ من كلا المتعادلين.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $x'$ من $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $x'$ من $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $x'$ من $- 4 x' e^{4 x}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ .

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ على $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ على $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 e^{5 y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x e^{x y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.5.1

أعِد كتابة $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ بالصيغة $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 5.6.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$