حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . إذن $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (8 x) - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3.1.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $8$ في $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $8$ إلى يسار $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $8 \sec^{2} (8 x)$ و $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

خطوة 2.2

انقُل $8$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$