حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة $x \log (x)$ بالصيغة $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\log (x)$ بلا حدود.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

خطوة 2.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.2

مشتق $\log (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

خطوة 2.3.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

خطوة 2.5

اجمع $\frac{1}{x \ln (10)}$ و $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

خطوة 2.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

خطوة 2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (10)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

خطوة 2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

خطوة 2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

خطوة 3.2

انقُل الحد $\frac{1}{\ln (10)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

خطوة 5

اضرب $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

خطوة 5.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$0$