حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{r}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $u = r^{2} - x^{2}$ . إذن $d u = 2 r d r$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = r d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = r^{2} - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $r^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2} - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $r^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 r + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$2 r + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 r$ و $0$ .

$2 r$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2.3

اضرب $u^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r^{2} - x^{2}$ .

${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$