حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

خطوة 1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 5 - 3 x^{3}$ . إذن $d u = - 9 x^{2} d x$ ، لذا $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 5 - 3 x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

خطوة 2.1.4

اطرح $9 x^{2}$ من $0$ .

$- 9 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{9}) d u$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 9} d u$

خطوة 3.3

انقُل $9$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} (- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u))$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2

اضرب $2$ في $9$ .

$- \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 6.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 6.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(5 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$