حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - x^{2}$ . إذن $d u = (1 - 2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 - 2 x$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x + 1$

خطوة 1.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$1 - 2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 - 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

خطوة 1.5.2

اطرح $4$ من $2$ .

$u_{upper} = - 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $- 2$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.3.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

خطوة 3.2.5

اضرب $0$ في $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

خطوة 3.2.6

اضرب $0$ في $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

خطوة 3.2.7

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 4