حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = 6 x$ . إذن $d u_{1} = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = 6 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 6

اجمع $\cos (u_{1})$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 8.2

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 9

تكامل $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

خطوة 10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = 4 x$ . إذن $d u_{2} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 12

اجمع $\sin (u_{2})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 15

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

خطوة 16.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

خطوة 16.2.2

اضرب $\cos (u_{2})$ في $1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

خطوة 18

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$