حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x}{5 {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{2}{3}}} d x$

خطوة 1

بما أن $\frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{4}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{4}{5} \int \frac{x}{{(6 x^{2} - 7)}^{\frac{2}{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 6 x^{2} - 7$ . إذن $d u = 12 x d x$ ، لذا $\frac{1}{12} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 6 x^{2} - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $12 x$ و $0$ .

$12 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{4}{5} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{12} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{5} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}} \cdot 12} d u$

خطوة 3.2

انقُل $12$ إلى يسار $u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{5} \int \frac{1}{12 u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$\frac{4}{5} (\frac{1}{12} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1}{12}$ في $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{12 \cdot 5} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5.1.2

اضرب $12$ في $5$ .

$\frac{4}{60} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{60} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{15} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $u^{\frac{2}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

خطوة 5.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

خطوة 5.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{15} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{15}$ و $3$ .

$\frac{3}{15} u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (1)}{15} u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{1}{3}} + C$