حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} + 2 x = x^{2} - 2 + y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 2 x) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 + y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$3 y^{2} y' + 2$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.1.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 0 + 2 y y'$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x + 2 y y'$

خطوة 3.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 2 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' + 2 = 2 y y' + 2 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' + 2 - 2 y y' = 2 x$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 2 y y' = 2 x - 2$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y y'$ من $3 y^{2} y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y y' (3 y) - 2 y y' = 2 x - 2$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y y'$ من $- 2 y y'$ .

$y y' (3 y) + y y' \cdot - 2 = 2 x - 2$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y y'$ من $y y' (3 y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ على $y (3 y - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ على $y (3 y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$