حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{3} + 2$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{3} + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1 + 2$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = t^{3} + 2$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $t^{3} + 2$ وفي $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 8.2.2

لكتابة $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 8.2.3

اجمع $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ و $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 8.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

خطوة 8.2.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

خطوة 8.2.6

أعِد كتابة $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ في صورة حاصل ضرب.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 8.2.7

اضرب $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 8.2.8

اضرب $3$ في $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

خطوة 9.4

أعِد كتابة $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ بالصيغة $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

خطوة 9.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

خطوة 10

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

خطوة 10.2

انقُل الحد $\frac{1}{9}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

خطوة 10.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.4

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{t^{3} + 2}$ يقترب من $0$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.7.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

خطوة 10.7.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

خطوة 10.7.2.3

اضرب $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9})$

خطوة 10.7.2.3.2

اضرب $\frac{1}{9}$ في $1$ .

$\frac{1}{9}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{9}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{1}$