حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{6} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$\frac{1}{6} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 3}{6} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $\frac{- 3}{6}$ و $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.5

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{6} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - 3 (\frac{1}{6}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.4

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.5

اجمع $\frac{- 3}{6}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

خطوة 1.4

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$ و $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.3.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.3.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- x + 4 (\frac{1}{2}) x^{- 5}$

خطوة 2.3.9

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$- x + \frac{4}{2} x^{- 5}$

خطوة 2.3.10

اجمع $\frac{4}{2}$ و $x^{- 5}$ .

$- x + \frac{4 x^{- 5}}{2}$

خطوة 2.3.11

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x + \frac{4}{2 x^{5}}$

خطوة 2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

خطوة 2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{5}$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{5})}$

خطوة 2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

خطوة 2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - x + \frac{2}{x^{5}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x + \frac{2}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 1 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

خطوة 3.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$- 1 + 2 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

خطوة 3.3.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

خطوة 3.3.7

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

انقُل $x^{4}$ .

$- 1 + 2 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

خطوة 3.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 1 + 2 (- 5 x^{4 - 10})$

خطوة 3.3.7.3

اطرح $10$ من $4$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 6})$

خطوة 3.3.8

اضرب $- 5$ في $2$ .

$- 1 - 10 x^{- 6}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - 10 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- 1 + \frac{- 10}{x^{6}}$

خطوة 3.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 1 - \frac{10}{x^{6}}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = - \frac{10}{x^{6}} - 1$