حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x + y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

خطوة 3.4.2

اضرب $1 + y'$ في $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

خطوة 5.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' x + y' y = 1 + y'$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد ترتيب $1$ و $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$y' x + y' y - y' = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' x + y' y - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

خطوة 5.3.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

خطوة 5.3.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $y' (x + y - 1) = 1$ على $x + y - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x + y - 1) = 1$ على $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$