حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

خطوة 1

بما أن $\frac{9}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{9}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x - 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

خطوة 2.3.2

اطرح $2$ من $3$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $3$ في $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من $18$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 5.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 5.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 5.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 5.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 5.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

خطوة 5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{4}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

خطوة 5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{4}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ في $16$ وفي $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.5

اجمع $\frac{4}{3}$ و $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.6

اضرب $4$ في $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

خطوة 7.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

خطوة 7.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

خطوة 7.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

خطوة 7.2.10

اطرح $4$ من $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

خطوة 7.2.11

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

خطوة 7.2.12

اضرب $3$ في $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

خطوة 7.2.13

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{84}{12}$

خطوة 7.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $84$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.1

أخرِج العامل $12$ من $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

خطوة 7.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

خطوة 7.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

خطوة 7.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{1}$

خطوة 7.2.14.2.4

اقسِم $7$ على $1$ .

$7$

خطوة 8