حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 5

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 11

اجمع $\cos (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 13

تكامل $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \cos^{2} (x) d x$

خطوة 14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 15

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 16

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

خطوة 17

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 18

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 19

لنفترض أن $u_{2} = 2 x$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

افترض أن $u_{2} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 19.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 19.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 19.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 19.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 20

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 21

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 22

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 23

بسّط.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 24

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 24.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

خطوة 25

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 25.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

خطوة 25.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

خطوة 25.4

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.4.1

اضرب $\frac{\sin (2 x)}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 25.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 25.5

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 25.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 25.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 25.8

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 25.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 26

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 27

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$