حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2^{3 - \frac{x}{2}}$

خطوة 1

اكتب $2^{3 - \frac{x}{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2^{3 - \frac{x}{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ . إذن $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ ، لذا $- 2 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $3 - \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \frac{x}{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - \frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

خطوة 4.1.4

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

خطوة 5.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5.5

أخرِج السالب.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

خطوة 5.6

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

خطوة 5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 7.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 7.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $2^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

خطوة 9

أعِد كتابة $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 - \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{x}{2}} + C$

خطوة 11

اجمع $2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}$ و $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$