حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $2 x^{2} + x + 4$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x - 3$

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

خطوة 7

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

خطوة 8.3

اطرح $1$ من $3$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

خطوة 8.5

اطرح $1$ من $5$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $5$ وفي $3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $3 x$ في $5$ وفي $3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

خطوة 10.3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $4$ وفي $2$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.4

اطرح $9$ من $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.5

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.5.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.6

اضرب $2$ في $8$ .

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.7

اضرب $3$ في $5$ .

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.8

اضرب $- 3$ في $3$ .

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.9

اطرح $9$ من $15$ .

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 10.4.10

أضف $16$ و $6$ .

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

خطوة 11

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

خطوة 12.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

خطوة 12.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$22 + 7 \ln (2)$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$22 + 7 \ln (2)$

الصيغة العشرية:

$26.85203026 \dots$

خطوة 14