حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

خطوة 1

اجمع $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ و $x$ .

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

خطوة 4.1.2

اجمع $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ و $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

خطوة 4.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $θ_{2}$ وفي $θ_{1}$ .

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

خطوة 4.2.2.2

اجمع.

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.6

اجمع $- 2$ و $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {θ_{1}}^{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 4.2.2.7.2.4

اقسِم $- {θ_{1}}^{2}$ على $1$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = θ_{2}$ و $b = θ_{1}$ .

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $θ_{2} - θ_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$