حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2}}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.10

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.11

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.12

انقُل $y^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.13

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{4}}{16}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

خطوة 3.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{4}{16}$ و $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

خطوة 3.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$