حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x (x + 1)}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{x (x + 1)}$ بالصيغة ${(x (x + 1))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x (x + 1)$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

خطوة 4.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

خطوة 4.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (x + 1)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.7

اضرب $- 2 x - 1$ في $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.9

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.11

أعِد كتابة $- (2 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$