حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

خطوة 1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

خطوة 1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

خطوة 1.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ بنقل $\cot (x)$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

خطوة 3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

خطوة 4

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

خطوة 5

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

خطوة 6

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $0$ .

$0$

خطوة 7

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

خطوة 8

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

خطوة 9

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $0$ .

$e^{0}$

خطوة 10

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$