حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} x^{3} \ln (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{4} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{4}}{x} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{1} d x)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{\ln (x) x^{4}}{4}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $\frac{1}{4} x^{4}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 6.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 6.4

اضرب $\ln (1)$ في $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 6.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

خطوة 6.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

خطوة 6.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

لكتابة $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.2

اجمع $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} - 4 (\frac{1}{4}) (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.5

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 4}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.6.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 6.8.6.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

الصيغة العشرية:

$10.29965313 \dots$